Մեր Տիեզերքի տափակ, գնդաձև, թե հիպերբոլիկ ձևը:

2024 Հեղինակ: Seth Attwood | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-16 16:07

Մեր կարծիքով, տիեզերքն անսահման է: Այսօր մենք գիտենք, որ Երկիրը գնդիկի տեսք ունի, բայց մենք հազվադեպ ենք մտածում Տիեզերքի ձևի մասին։ Երկրաչափության մեջ կան բազմաթիվ եռաչափ ձևեր՝ որպես «ծանոթ» անսահման տարածության այլընտրանք։ Հեղինակները տարբերությունը բացատրում են առավել մատչելի ձևով.

Նայելով գիշերային երկնքին՝ թվում է, թե տիեզերքը հավերժ շարունակվում է բոլոր ուղղություններով: Ահա թե ինչպես ենք մենք պատկերացնում Տիեզերքը, բայց ոչ այն փաստը, որ դա ճիշտ է: Ի վերջո, կար ժամանակ, երբ բոլորը կարծում էին, որ Երկիրը հարթ է. Երկրի մակերեսի կորությունն աննկատ է, իսկ այն միտքը, որ Երկիրը կլոր է, անհասկանալի էր թվում։

Այսօր մենք գիտենք, որ Երկիրը գնդաձեւ է։ Բայց մենք հազվադեպ ենք մտածում տիեզերքի ձևի մասին: Քանի որ գունդը փոխարինեց հարթ երկիրը, այլ եռաչափ ձևեր առաջարկում են այլընտրանքներ «ծանոթ» անսահման տարածությանը:

Տիեզերքի ձևի վերաբերյալ կարելի է տալ երկու հարց՝ առանձին, բայց փոխկապակցված: Մեկը երկրաչափության մասին է՝ անկյունների և տարածքների մանրակրկիտ հաշվարկներ։ Մյուսը տոպոլոգիայի մասին է. ինչպես են առանձին մասերը միաձուլվում մեկ ձևի մեջ:

Տիեզերագիտական տվյալները հուշում են, որ Տիեզերքի տեսանելի մասը հարթ է և միատարր: Տիեզերքի տեղական կառուցվածքը գրեթե նույնն է թվում յուրաքանչյուր կետում և ամեն ուղղությամբ: Այս բնութագրերին համապատասխանում են միայն երեք երկրաչափական ձևեր՝ հարթ, գնդաձև և հիպերբոլիկ: Եկեք հերթով դիտարկենք այս ձևերը, որոշ տոպոլոգիական նկատառումներ և եզրակացություններ, որոնք հիմնված են տիեզերաբանական տվյալների վրա:

Հարթ տիեզերք

Իրականում սա դպրոցական երկրաչափություն է։ Եռանկյան անկյունները գումարվում են մինչև 180 աստիճան, իսկ շրջանագծի մակերեսը πr2 է: Հարթ եռաչափ ձևի ամենապարզ օրինակը սովորական անսահման տարածությունն է, մաթեմատիկոսներն այն անվանում են էվկլիդեսյան, բայց կան նաև հարթ տարբերակներ:

Այս ձևերը պատկերացնելը հեշտ չէ, բայց մենք կարող ենք կապել մեր ինտուիցիան՝ մտածելով երեքի փոխարեն երկու հարթության մեջ: Բացի սովորական Էվկլիդեսյան հարթությունից, մենք կարող ենք ստեղծել այլ հարթ ձևեր՝ կտրելով հարթության մի հատվածը և սոսնձելով դրա եզրերը: Ենթադրենք, մենք ուղղանկյուն թղթից կտրեցինք և դրա հակառակ ծայրերը կպցրեցինք ժապավենով: Եթե դուք սոսնձում եք վերին եզրը ստորին եզրին, դուք ստանում եք գլան:

Կարող եք նաև սոսնձել աջ եզրը դեպի ձախ, այնուհետև մենք ստանում ենք բլիթ (մաթեմատիկոսներն այս ձևն անվանում են տորուս):

Հավանաբար կառարկեք՝ «Ինչ-որ բան այնքան էլ հարթ չէ»: Եվ դուք ճիշտ կլինեք։ Մենք մի քիչ խաբում էինք հարթ տորուսին։ Եթե դուք իսկապես փորձեք այս կերպ թղթի կտորից տորուս պատրաստել, ապա որոշ դժվարությունների կբախվեք։ Մխոց պատրաստելը հեշտ է, բայց դրա ծայրերը սոսնձելը չի աշխատի. թուղթը կճմճվի տորուսի ներքին շրջանի երկայնքով, բայց արտաքին շրջանի համար դա բավարար չի լինի։ Այսպիսով, դուք պետք է վերցնեք մի տեսակ առաձգական նյութ: Բայց ձգվելը փոխում է երկարությունը և անկյունները, հետևաբար՝ ամբողջ երկրաչափությունը:

Անհնար է սովորական եռաչափ տարածության ներսում հարթ նյութից իրական հարթ ֆիզիկական տորուս կառուցել՝ առանց երկրաչափությունը խեղաթյուրելու: Մնում է վերացական ենթադրություններ անել, թե ինչպիսին է ապրել հարթ տորուսում:

Պատկերացրեք, որ դուք երկչափ էակ եք, որի տիեզերքը հարթ տորուս է: Քանի որ այս տիեզերքի ձևը հիմնված է հարթ թղթի վրա, բոլոր երկրաչափական փաստերը, որոնք մենք սովոր ենք, մնան նույնը, գոնե սահմանափակ մասշտաբով. եռանկյունի անկյունները գումարվում են մինչև 180 աստիճան և այլն: Սակայն գլոբալ տոպոլոգիայի փոփոխության հետ կապված՝ կտրման և սոսնձման միջոցով, կյանքը կտրուկ կփոխվի:

Սկզբից տորուսն ունի ուղիղ գծեր, որոնք պտտվում են և վերադառնում ելակետ:

Խեղաթյուրված տորուսի վրա նրանք կարծես թե կորացած են, բայց հարթ տորուսի բնակիչներին դրանք ուղիղ են թվում: Եվ քանի որ լույսը շարժվում է ուղիղ գծով, ապա եթե ուղիղ նայեք ցանկացած ուղղությամբ, ապա կտեսնեք ինքներդ ձեզ հետևից։

Կարծես օրիգինալ թղթի վրա լույսն անցավ քո միջով, գնաց դեպի ձախ եզրը և նորից հայտնվեց աջ կողմում, ինչպես տեսախաղում:

Ահա դրա մասին մտածելու ևս մեկ ձև. դու (կամ լույսի ճառագայթ) անցնում ես չորս եզրերից մեկը և հայտնվում նոր սենյակում, բայց իրականում դա նույն սենյակն է, միայն այլ տեսանկյունից: Թափառելով այսպիսի տիեզերքում՝ դուք կհանդիպեք օրիգինալ սենյակի անսահման թվով օրինակների։

Սա նշանակում է, որ դուք կվերցնեք ձեր անսահման թվով օրինակներ, որտեղ էլ որ նայեք: Սա մի տեսակ հայելային էֆեկտ է, միայն այս կրկնօրինակները հենց արտացոլում չեն։

Տորուսի վրա նրանցից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է այս կամ այն օղակին, որի երկայնքով լույսը վերադառնում է դեպի ձեզ:

Նույն կերպ ստանում ենք հարթ եռաչափ տորուս՝ սոսնձելով խորանարդի կամ այլ տուփի հակառակ երեսները։ Մենք չենք կարողանա այս տարածությունը պատկերել սովորական անսահման տարածության ներսում, այն պարզապես չի տեղավորվի, բայց մենք կկարողանանք վերացականորեն ենթադրություններ անել դրա ներսում կյանքի մասին:

Եթե կյանքը երկչափ տորուսում նման է նույնական ուղղանկյուն սենյակների անվերջանալի երկչափ զանգվածին, ապա կյանքը եռաչափ տորուսում նման է նույնական խորանարդ սենյակների անվերջ եռաչափ զանգվածին: Դուք նույնպես կտեսնեք ձեր սեփական օրինակների անսահման քանակությունը:

Եռաչափ տորուսը վերջավոր հարթ աշխարհի տասը տարբերակներից միայն մեկն է: Կան նաև անսահման հարթ աշխարհներ, օրինակ՝ անսահման մխոցի եռաչափ անալոգը: Այս աշխարհներից յուրաքանչյուրը կունենա իր «ծիծաղի սենյակը»՝ «մտածումներով»։

Մեր տիեզերքը կարո՞ղ է լինել հարթ ձևերից մեկը:

Երբ մենք նայում ենք տիեզերք, մենք չենք տեսնում մեր սեփական օրինակների անսահման քանակությունը: Անկախ նրանից, հարթ ձևերը վերացնելը հեշտ չէ։ Նախ, նրանք բոլորն ունեն նույն տեղական երկրաչափությունը, ինչ էվկլիդյան տարածությունը, ուստի հնարավոր չի լինի դրանք տարբերել տեղական չափումներով։

Ենթադրենք, դուք նույնիսկ տեսել եք ձեր սեփական օրինակը, այս հեռավոր պատկերը միայն ցույց է տալիս, թե ինչպես էիք դուք (կամ ձեր գալակտիկան որպես ամբողջություն) նայեցիք հեռավոր անցյալում, քանի որ լույսը երկար ճանապարհ է անցել մինչև այն հասել է ձեզ: Միգուցե մենք նույնիսկ տեսնում ենք մեր սեփական օրինակները, բայց անճանաչելիորեն փոխված: Ավելին, տարբեր պատճենները ձեզանից տարբեր հեռավորության վրա են գտնվում, ուստի նրանք նման չեն: Եվ բացի այդ՝ այնքան հեռու, որ դեռ ոչինչ չենք տեսնի։

Այս դժվարությունները շրջանցելու համար աստղագետները սովորաբար փնտրում են ոչ թե իրենց պատճենները, այլ ամենահեռավոր տեսանելի երևույթի կրկնվող հատկանիշները՝ տիեզերական միկրոալիքային ֆոնային ճառագայթումը, սա Մեծ պայթյունի մասունքն է: Գործնականում դա նշանակում է որոնել տաք և սառը կետերի համապատասխան նախշերով զույգ շրջանակներ. ենթադրվում է, որ դրանք նույնն են, միայն տարբեր կողմերից:

Աստղագետները հենց այդպիսի որոնում են իրականացրել 2015 թվականին Պլանկի տիեզերական աստղադիտակի շնորհիվ։ Նրանք հավաքել են տվյալներ համընկնող շրջանակների տեսակների մասին, որոնք մենք ակնկալում ենք տեսնել հարթ 3D տորուսի կամ այլ հարթ 3D ձևի ներսում, այսպես կոչված, ափսե, բայց նրանք ոչինչ չեն գտել: Սա նշանակում է, որ եթե մենք իսկապես ապրում ենք տորուսում, ապա այն այնքան մեծ է թվում, որ կրկնվող բեկորները գտնվում են դիտելի տիեզերքից դուրս:

Գնդաձև ձև

Մեզ շատ լավ ծանոթ են երկչափ գնդերը՝ սա գնդակի, նարնջի կամ Երկրի մակերեսն է: Բայց ի՞նչ կլինի, եթե մեր տիեզերքը եռաչափ գունդ է:

Եռաչափ գունդ նկարելը դժվար է, բայց հեշտ է այն նկարագրել պարզ անալոգիայով։ Եթե երկչափ գունդը սովորական եռաչափ տարածության ինչ-որ կենտրոնական կետից ֆիքսված հեռավորության վրա գտնվող բոլոր կետերի հավաքածուն է, ապա եռաչափ գունդը (կամ «եռագունդը») որոշ կետերից ֆիքսված հեռավորության վրա գտնվող բոլոր կետերի հավաքածուն է: կենտրոնական կետ քառաչափ տարածության մեջ:

Եռագնդի ներսում կյանքը շատ տարբեր է հարթ տարածության կյանքից: Այն պատկերացնելու համար պատկերացրեք, որ դուք երկչափ էակ եք երկչափ ոլորտում: Երկչափ ոլորտը ամբողջ Տիեզերքն է, հետևաբար դուք չեք կարող տեսնել ձեզ շրջապատող եռաչափ տարածությունը և չեք կարող մտնել դրա մեջ: Այս գնդաձև տիեզերքում լույսն անցնում է ամենակարճ ճանապարհով՝ մեծ շրջանակներով: Բայց այս շրջանակները ձեզ ուղիղ են թվում:

Հիմա պատկերացրեք, որ դուք և ձեր 2D ընկերը գտնվում եք Հյուսիսային բևեռում, և նա գնաց զբոսնելու: Հեռանալով՝ սկզբում այն աստիճանաբար կնվազի ձեր տեսողական շրջանակում՝ ինչպես սովորական աշխարհում, թեև ոչ այնքան արագ, որքան մենք սովոր ենք: Դա պայմանավորված է նրանով, որ երբ ձեր տեսողական շրջանակը մեծանում է, ձեր ընկերն ավելի ու ավելի քիչ է վերցնում այն:

Բայց հենց որ ընկերդ հատում է հասարակածը, ինչ-որ տարօրինակ բան է տեղի ունենում՝ նա սկսում է մեծանալ չափերով, թեև իրականում շարունակում է հեռանալ։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ ձեր տեսողական շրջանակում նրանց զբաղեցրած տոկոսն ավելանում է:

Հարավային բևեռից երեք մետր հեռավորության վրա ձեր ընկերը կարծես թե կանգնած է ձեզանից երեք մետր հեռավորության վրա:

Հասնելով Հարավային բևեռ՝ այն ամբողջությամբ կլցնի ձեր ամբողջ տեսանելի հորիզոնը։

Եվ երբ Հարավային բևեռում ոչ ոք չկա, ձեր տեսողական հորիզոնն ավելի տարօրինակ կլինի՝ դա դուք եք: Դա պայմանավորված է նրանով, որ լույսը, որը դուք արձակում եք, կտարածվի ամբողջ ոլորտում, մինչև այն վերադառնա:

Սա ուղղակիորեն ազդում է 3D ոլորտում կյանքի վրա: Եռագնդի յուրաքանչյուր կետ ունի հակադիր, և եթե այնտեղ որևէ առարկա կա, մենք այն կտեսնենք ամբողջ երկնքում: Եթե այնտեղ ոչինչ չլինի, մենք մեզ կտեսնենք հետին պլանում, կարծես մեր արտաքինը դրված լինի օդապարիկի վրա, հետո շրջվեց ներսից և փչվեց ամբողջ հորիզոնում:

Բայց թեև եռագունդը գնդաձև երկրաչափության հիմնարար մոդելն է, այն հեռու է միակ հնարավոր տարածությունից: Ինչպես մենք կառուցեցինք տարբեր հարթ մոդելներ՝ կտրելով և սոսնձելով Էվկլիդյան տարածության կտորները, այնպես էլ մենք կարող ենք գնդաձևեր կառուցել՝ սոսնձելով համապատասխան եռագնդի կտորներ: Այս սոսնձված ձևերից յուրաքանչյուրը, ինչպես տորուսը, կունենա «ծիծաղի սենյակի» էֆեկտ, միայն գնդաձև ձևերով սենյակների թիվը կլինի վերջավոր:

Իսկ եթե մեր տիեզերքը գնդաձև է:

Նույնիսկ մեզանից ամենանարցիսիստները գիշերային երկնքի փոխարեն մեզ չեն ընկալում որպես ֆոն: Բայց, ինչպես հարթ տորուսի դեպքում, այն, որ մենք ինչ-որ բան չենք տեսնում, ամենևին էլ չի նշանակում, որ այն գոյություն չունի։ Գնդաձեւ տիեզերքի սահմանները կարող են լինել ավելի մեծ, քան տեսանելի աշխարհի սահմանները, իսկ ֆոնը պարզապես տեսանելի չէ:

Բայց ի տարբերություն տորուսի, գնդաձև տիեզերքը կարելի է հայտնաբերել տեղական չափումների միջոցով: Գնդային ձևերը անսահման էվկլիդյան տարածությունից տարբերվում են ոչ միայն գլոբալ տոպոլոգիայով, այլև փոքր երկրաչափությամբ։ Օրինակ, քանի որ գնդաձև երկրաչափության ուղիղ գծերը մեծ շրջանակներ են, ուստի այնտեղ եռանկյունները էվկլիդեսյաններից «պարարտ» են, և նրանց անկյունների գումարը գերազանցում է 180 աստիճանը։

Հիմնականում տիեզերական եռանկյունների չափումը հիմնական միջոցն է՝ ստուգելու, թե որքան կոր է տիեզերքը: Տիեզերական միկրոալիքային ֆոնի յուրաքանչյուր տաք կամ սառը կետի համար հայտնի են նրա տրամագիծը և հեռավորությունը Երկրից, որոնք կազմում են եռանկյունու երեք կողմերը: Գիշերային երկնքում մենք կարող ենք չափել կետի ձևավորված անկյունը, և սա կլինի եռանկյունու անկյուններից մեկը: Այնուհետև մենք կարող ենք ստուգել, արդյոք կողմերի երկարությունների և անկյունների գումարի համադրությունը համապատասխանում է հարթ, գնդաձև կամ հիպերբոլիկ երկրաչափությանը (որտեղ եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճանից փոքր է):

Այս հաշվարկների մեծ մասը, կորության այլ չափումների հետ մեկտեղ, ենթադրում է, որ տիեզերքը կամ ամբողջովին հարթ է, կամ շատ մոտ է դրան: Հետազոտական թիմերից մեկը վերջերս առաջարկեց, որ Պլանկի տիեզերական աստղադիտակի 2018 թվականի որոշ տվյալներ ավելի շատ խոսում են գնդաձև տիեզերքի օգտին, թեև այլ հետազոտողներ պնդում էին, որ ներկայացված ապացույցները կարող են վերագրվել վիճակագրական սխալի:

Հիպերբոլիկ երկրաչափություն

Ի տարբերություն գնդիկի, որը փակվում է իր վրա, հիպերբոլիկ երկրաչափությունը կամ բացասական կորությամբ տարածությունը բացվում է դեպի դուրս։ Սա լայնեզր գլխարկի, կորալային խութի և թամբի երկրաչափությունն է: Հիպերբոլիկ երկրաչափության հիմնական մոդելը անսահման տարածությունն է, ինչպես հարթ Էվկլիդեսը: Բայց քանի որ հիպերբոլիկ ձևն ընդլայնվում է դեպի դուրս շատ ավելի արագ, քան հարթը, հնարավոր չէ նույնիսկ երկչափ հիպերբոլիկ հարթությունը տեղավորել սովորական Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, եթե մենք չենք ցանկանում խեղաթյուրել դրա երկրաչափությունը: Բայց կա հիպերբոլիկ հարթության աղավաղված պատկեր, որը հայտնի է որպես Պուանկարեի սկավառակ:

Մեր տեսանկյունից սահմանային շրջանի մոտ գտնվող եռանկյունները թվում է, թե շատ ավելի փոքր են, քան կենտրոնին մոտ գտնվողները, սակայն հիպերբոլիկ երկրաչափության տեսանկյունից բոլոր եռանկյունները նույնն են: Եթե մենք փորձեինք պատկերել այս եռանկյունները իրոք նույն չափի. գուցե օգտագործելով առաձգական նյութ և յուրաքանչյուր եռանկյունին հերթով փքելով՝ շարժվելով կենտրոնից դեպի դուրս, մեր սկավառակը կնմանվեր լայնեզր գլխարկի և ավելի ու ավելի կծկվեր: Եվ քանի որ մոտենում ես սահմանին, այս կորությունը դուրս կգա վերահսկողությունից:

Սովորական Էվկլիդեսյան երկրաչափության մեջ շրջանագծի շրջագիծն ուղիղ համեմատական է նրա շառավղին, իսկ հիպերբոլիկ երկրաչափության դեպքում շրջանագիծը շառավիղի համեմատ էքսպոնենցիալ աճում է։ Հիպերբոլիկ սկավառակի սահմանի մոտ ձևավորվում է եռանկյունների կույտ

Այս հատկանիշի պատճառով մաթեմատիկոսները սիրում են ասել, որ հեշտ է մոլորվել հիպերբոլիկ տարածության մեջ։ Եթե ձեր ընկերը հեռանա ձեզանից սովորական Էվկլիդեսյան տարածության մեջ, նա կսկսի հեռանալ, բայց ավելի շուտ դանդաղ, քանի որ ձեր տեսողական շրջանակն այնքան էլ արագ չի աճում: Հիպերբոլիկ տարածության մեջ ձեր տեսողական շրջանակը երկրաչափականորեն ընդլայնվում է, ուստի ձեր ընկերը շուտով կնվազի մինչև անսահման փոքր կետ: Այսպիսով, եթե դուք չեք հետևել նրա ճանապարհին, ապա դժվար թե նրան հետագայում գտնեք:

Նույնիսկ հիպերբոլիկ երկրաչափության մեջ եռանկյան անկյունների գումարը 180 աստիճանից պակաս է, օրինակ՝ Պուանկարեի սկավառակի խճանկարից որոշ եռանկյունների անկյունների գումարը ընդամենը 165 աստիճան է:

Նրանց կողմերը կարծես անուղղակի են, բայց դա պայմանավորված է նրանով, որ մենք հիպերբոլիկ երկրաչափությունը դիտում ենք աղավաղող ոսպնյակի միջոցով: Պուանկարեի սկավառակի բնակչի համար այս կորերը իրականում ուղիղ գծեր են, ուստի A կետից B կետ հասնելու ամենաարագ ճանապարհը (երկուսն էլ եզրին) կտրվածքն է դեպի կենտրոն:

Պուանկարեի սկավառակի եռաչափ անալոգը պատրաստելու բնական միջոց կա՝ վերցրեք եռաչափ գնդակ և լցրեք այն եռաչափ ձևերով, որոնք աստիճանաբար նվազում են, երբ մոտենում են սահմանային ոլորտին, ինչպես եռանկյունները Պուանկարեի սկավառակի վրա։ Եվ, ինչպես հարթությունների և գնդերի դեպքում, մենք կարող ենք ստեղծել այլ եռաչափ հիպերբոլիկ տարածություններ՝ կտրելով եռաչափ հիպերբոլիկ գնդակի համապատասխան կտորները և սոսնձելով նրա երեսները:

Դե, մեր Տիեզերքը հիպերբոլա՞կ է:

Հիպերբոլիկ երկրաչափությունը՝ իր նեղ եռանկյուններով և էքսպոնենցիալ աճող շրջանակներով, բոլորովին նման չէ մեզ շրջապատող տարածությանը: Իսկապես, ինչպես արդեն նշել ենք, տիեզերաբանական չափումների մեծ մասը թեքվում է դեպի հարթ տիեզերք:

Բայց մենք չենք կարող բացառել, որ մենք ապրում ենք գնդաձեւ կամ հիպերբոլիկ աշխարհում, քանի որ երկու աշխարհների փոքր բեկորները գրեթե հարթ տեսք ունեն։ Օրինակ, գնդաձև երկրաչափության մեջ փոքր եռանկյունների անկյունների գումարը միայն մի փոքր ավելի է 180 աստիճանից, իսկ հիպերբոլիկ երկրաչափության մեջ՝ մի փոքր ավելի քիչ:

Այդ իսկ պատճառով հին մարդիկ կարծում էին, որ Երկիրը հարթ է. Երկրի կորությունն անզեն աչքով չի երևում։ Որքան մեծ է գնդաձև կամ հիպերբոլիկ ձևը, այնքան հարթ է նրա յուրաքանչյուր հատվածը, հետևաբար, եթե մեր Տիեզերքն ունի չափազանց մեծ գնդաձև կամ հիպերբոլիկ ձև, նրա տեսանելի մասը այնքան մոտ է հարթությանը, որ դրա կորությունը հնարավոր է հայտնաբերել միայն գերճշգրիտ գործիքներով: և մենք դեռ չենք հորինել դրանք…