Բովանդակություն:

Ինչ են ֆրակտալները. մաթեմատիկայի գեղեցկությունը և անսահմանությունը
Ինչ են ֆրակտալները. մաթեմատիկայի գեղեցկությունը և անսահմանությունը

Video: Ինչ են ֆրակտալները. մաթեմատիկայի գեղեցկությունը և անսահմանությունը

Video: Ինչ են ֆրակտալները. մաթեմատիկայի գեղեցկությունը և անսահմանությունը
Video: ԹՈՓ5||Համարներ որոնց զանգահարելը խստիվ արգելվում է 2024, Երթ
Anonim

Ֆրակտալները հայտնի են արդեն մեկ դար, լավ ուսումնասիրված են և ունեն բազմաթիվ կիրառություններ կյանքում: Այնուամենայնիվ, այս երևույթը հիմնված է շատ պարզ գաղափարի վրա. բազմաթիվ ձևեր՝ անսահման գեղեցկությամբ և բազմազանությամբ, կարելի է ձեռք բերել համեմատաբար պարզ կառույցներից՝ օգտագործելով ընդամենը երկու գործողություն՝ պատճենահանում և մասշտաբում:

Ի՞նչ ընդհանուր բան ունեն մեր ձեռքի ծառը, ծովափը, ամպը կամ արյունատար անոթները: Առաջին հայացքից կարող է թվալ, որ այս բոլոր առարկաները ոչ մի ընդհանուր բան չունեն։ Սակայն, փաստորեն, գոյություն ունի կառուցվածքի մեկ հատկություն, որը բնորոշ է թվարկված բոլոր օբյեկտներին. դրանք ինքնանման են: Ճյուղից, ինչպես նաև ծառի բունից ավելի փոքր ճյուղեր են, դրանցից՝ նույնիսկ ավելի փոքր և այլն, այսինքն՝ ճյուղը նման է ամբողջ ծառին։

Արյան շրջանառության համակարգը դասավորված է նման կերպ. զարկերակներից հեռանում են զարկերակները, իսկ դրանցից ամենափոքր մազանոթները, որոնց միջոցով թթվածինը ներթափանցում է օրգաններ և հյուսվածքներ: Դիտարկենք ծովի ափի արբանյակային պատկերները. մենք կտեսնենք ծովածոցեր և թերակղզիներ. Եկեք նայենք դրան, բայց թռչնի հայացքից. մենք կտեսնենք ծովածոցեր և թիկնոցներ; Հիմա եկեք պատկերացնենք, որ մենք կանգնած ենք ծովափին և նայում ենք մեր ոտքերին. միշտ կան խճաքարեր, որոնք դուրս են ցցվում ջրի մեջ, քան մնացածը։

Այսինքն՝ ափը մեծացնելու դեպքում մնում է իրեն նման: Ամերիկացի (թեև մեծացել է Ֆրանսիայում) մաթեմատիկոս Բենուա Մանդելբրոտը առարկաների այս հատկությունն անվանել է ֆրակտալություն, իսկ իրենք՝ այդպիսի առարկաները՝ ֆրակտալներ (լատիներեն fractus - կոտրված):

Ֆրակտալներ
Ֆրակտալներ

Ի՞նչ է ֆրակտալը:

Այս հայեցակարգը չունի խիստ սահմանում: Հետեւաբար, «ֆրակտալ» բառը մաթեմատիկական տերմին չէ։ Սովորաբար, ֆրակտալը երկրաչափական պատկեր է, որը բավարարում է հետևյալ հատկություններից մեկը կամ մի քանիսը. գծի հատված): • (մոտավորապես) ինքնամփոփ է։ • Ունի կոտորակային Hausdorff (ֆրակտալ) չափում, որն ավելի մեծ է, քան տոպոլոգիականը։ • Կարող է կառուցվել ռեկուրսիվ պրոցեդուրաներով:

Երկրաչափություն և հանրահաշիվ

19-րդ և 20-րդ դարերի վերջում ֆրակտալների ուսումնասիրությունը ավելի շուտ էպիզոդիկ էր, քան համակարգված, քանի որ ավելի վաղ մաթեմատիկոսները հիմնականում ուսումնասիրում էին «լավ» առարկաներ, որոնք ենթակա էին հետազոտության՝ օգտագործելով ընդհանուր մեթոդներ և տեսություններ: 1872 թվականին գերմանացի մաթեմատիկոս Կարլ Վայերշտրասը կառուցում է շարունակական ֆունկցիայի օրինակ, որը ոչ մի տեղ չի տարբերվում։ Այնուամենայնիվ, դրա կառուցումը լիովին վերացական էր և դժվար ընկալելի:

Հետևաբար, 1904 թվականին շվեդ Հելգե ֆոն Կոխը հորինեց շարունակական կոր, որը ոչ մի տեղ չունի շոշափող, և այն բավականին պարզ է գծել։ Պարզվեց, որ այն ունի ֆրակտալի հատկություններ։ Այս կորի տարբերակներից մեկը կոչվում է «Կոչ ձյան փաթիլ»։

Ֆիգուրների ինքնանմանության գաղափարները վերցրել է ֆրանսիացի Պոլ Պիեռ Լևին՝ Բենուա Մանդելբրոտի ապագա դաստիարակը: 1938 թվականին նա հրապարակեց իր հոդվածը «Պլանի և տարածական կորեր և մակերեսներ, որոնք բաղկացած են ամբողջին նման մասերից», որը նկարագրում է մեկ այլ ֆրակտալ՝ Lévy C-ի կորը։ Վերոհիշյալ բոլոր ֆրակտալները պայմանականորեն կարելի է վերագրել կառուցողական (երկրաչափական) ֆրակտալների մեկ դասի։

Բուսականություն
Բուսականություն

Մեկ այլ դաս են դինամիկ (հանրահաշվական) ֆրակտալները, որոնք ներառում են Մանդելբրոտի բազմությունը։ Այս ուղղությամբ առաջին ուսումնասիրությունները սկսվել են 20-րդ դարի սկզբին և կապված են ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Գաստոն Ջուլիայի և Պիեռ Ֆաթուի անունների հետ։1918 թվականին լույս տեսավ Ջուլիայի գրեթե երկու հարյուր էջանոց հուշագրությունը՝ նվիրված բարդ ռացիոնալ ֆունկցիաների կրկնություններին, որտեղ նկարագրված էին Ջուլիայի հավաքածուները՝ ֆրակտալների մի ամբողջ ընտանիք, որը սերտորեն կապված է Մանդելբրոտի հավաքածուի հետ։ Այս աշխատանքը արժանացել է Ֆրանսիական ակադեմիայի մրցանակին, սակայն այն չի պարունակում ոչ մի նկարազարդում, ուստի անհնար է գնահատել հայտնաբերված առարկաների գեղեցկությունը։

Չնայած այն հանգամանքին, որ այս աշխատանքը փառաբանում էր Ջուլիային այն ժամանակվա մաթեմատիկոսների շրջանում, այն արագ մոռացվեց։ Միայն կես դար անց համակարգիչները կրկին հայտնվեցին ուշադրության կենտրոնում. հենց նրանք տեսանելի դարձրին ֆրակտալների աշխարհի հարստությունն ու գեղեցկությունը:

Ֆրակտալ չափերը

վիդջեթ-տոկոս
վիդջեթ-տոկոս

Ինչպես գիտեք, երկրաչափական պատկերի չափը (չափումների քանակը) կոորդինատների քանակն է, որն անհրաժեշտ է այս նկարի վրա ընկած կետի դիրքը որոշելու համար:

Օրինակ, կորի վրա կետի դիրքը որոշվում է մեկ կոորդինատով, մակերեսի վրա (պարտադիր չէ, որ հարթությունում) երկու կոորդինատներով, եռաչափ տարածության մեջ՝ երեք կոորդինատներով։

Ավելի ընդհանուր մաթեմատիկական տեսանկյունից կարող եք չափումը սահմանել այսպես. գծային չափումների աճը, ասենք, երկու անգամ, միաչափ (տոպոլոգիական տեսանկյունից) օբյեկտների (հատվածի) համար հանգեցնում է չափի մեծացման: (երկարությունը) երկու անգամ, երկչափի (քառակուսի) համար գծային չափերի նույն աճը հանգեցնում է չափի (տարածքի) ավելացմանը 4 անգամ, եռաչափի (խորանարդի) համար՝ 8 անգամ։ Այսինքն՝ «իրական» (այսպես կոչված՝ Հաուսդորֆ) չափումը կարող է հաշվարկվել որպես օբյեկտի «չափի» մեծացման լոգարիթմի հարաբերակցությունը նրա գծային չափի մեծացման լոգարիթմին։ Այսինքն, D հատվածի համար = log (2) / log (2) = 1, D հարթության համար = log (4) / log (2) = 2, ծավալի համար D = log (8) / log (2):) = 3.

Այժմ հաշվենք Կոխի կորի չափը, որի կառուցման համար միավոր հատվածը բաժանվում է երեք հավասար մասերի, իսկ միջին միջակայքը փոխարինվում է հավասարակողմ եռանկյունով առանց այս հատվածի։ Նվազագույն հատվածի գծային չափսերի երեք անգամ աճով, Կոխի կորի երկարությունը մեծանում է լոգով (4) / լոգ (3) ~ 1, 26: Այսինքն, Կոխի կորի չափը կոտորակային է:

Գիտություն և արվեստ

1982 թվականին լույս է տեսել Մանդելբրոտի «Բնության ֆրակտալ երկրաչափությունը» գիրքը, որտեղ հեղինակը հավաքել և համակարգել է ֆրակտալների մասին այն ժամանակ առկա գրեթե ողջ տեղեկատվությունը և այն ներկայացրել հեշտ և մատչելի ձևով։ Իր ներկայացման մեջ Մանդելբրոտը հիմնական շեշտը դրեց ոչ թե ծանր բանաձևերի և մաթեմատիկական կոնստրուկցիաների, այլ ընթերցողների երկրաչափական ինտուիցիայի վրա։ Շնորհիվ համակարգչային ստեղծած նկարազարդումների և պատմական հեքիաթների, որոնցով հեղինակը հմտորեն նոսրացրել էր մենագրության գիտական բաղադրիչը, գիրքը դարձավ բեսթսելլեր, իսկ ֆրակտալները հայտնի դարձան լայն հանրությանը:

Ոչ մաթեմատիկոսների շրջանում նրանց հաջողությունը մեծապես պայմանավորված է նրանով, որ շատ պարզ կառուցվածքների և բանաձևերի օգնությամբ, որոնք կարող է հասկանալ ավագ դպրոցի աշակերտը, ստացվում են զարմանալի բարդության և գեղեցկության պատկերներ: Երբ անհատական համակարգիչները բավական հզորացան, նույնիսկ արվեստի մի ամբողջ միտում հայտնվեց՝ ֆրակտալ նկարչություն, և գրեթե ցանկացած համակարգչի սեփականատեր կարող էր դա անել: Այժմ ինտերնետում հեշտությամբ կարող եք գտնել այս թեմային նվիրված բազմաթիվ կայքեր:

Կոխի կորը
Կոխի կորը

Պատերազմ և խաղաղություն

Ինչպես նշվեց վերևում, ֆրակտալ հատկություններով բնական օբյեկտներից մեկն ափամերձ գիծն է: Նրա հետ կապված է մեկ հետաքրքիր պատմություն, ավելի ճիշտ՝ դրա երկարությունը չափելու փորձի հետ, որը հիմք է հանդիսացել Մանդելբրոտի գիտական հոդվածի համար և նկարագրված է նաև նրա «Բնության ֆրակտալ երկրաչափությունը» գրքում։

Սա փորձ է, որը բեմադրել է Լյուիս Ռիչարդսոնը՝ շատ տաղանդավոր և էքսցենտրիկ մաթեմատիկոս, ֆիզիկոս և օդերևութաբան։ Նրա հետազոտության ուղղություններից մեկը երկու երկրների միջև զինված հակամարտության պատճառների և հավանականության մաթեմատիկական նկարագրություն գտնելու փորձն էր։ Պարամետրերի թվում, որոնք նա հաշվի է առել, եղել է երկու պատերազմող երկրների ընդհանուր սահմանի երկարությունը։Երբ նա հավաքեց տվյալներ թվային փորձերի համար, նա պարզեց, որ տարբեր աղբյուրներում Իսպանիայի և Պորտուգալիայի ընդհանուր սահմանի տվյալները շատ տարբեր են։

Սա դրդեց նրան բացահայտելու հետևյալը. երկրի սահմանների երկարությունը կախված է այն քանոնից, որով մենք չափում ենք դրանք։ Որքան փոքր է սանդղակը, այնքան երկար է սահմանը: Դա պայմանավորված է նրանով, որ ավելի մեծ խոշորացումով հնարավոր է դառնում հաշվի առնել ավելի ու ավելի շատ ափամերձ ոլորաններ, որոնք նախկինում անտեսվում էին չափումների կոշտության պատճառով։ Եվ եթե սանդղակի յուրաքանչյուր աճի հետ կբացվեն գծերի նախկինում չհաշվառված թեքությունները, ապա պարզվում է, որ սահմանների երկարությունը անսահման է: Ճիշտ է, իրականում դա տեղի չի ունենում. մեր չափումների ճշգրտությունը վերջավոր սահման ունի: Այս պարադոքսը կոչվում է Ռիչարդսոնի էֆեկտ:

Ֆրակտալներ
Ֆրակտալներ

Կառուցողական (երկրաչափական) ֆրակտալներ

Ընդհանուր դեպքում կառուցողական ֆրակտալի կառուցման ալգորիթմը հետևյալն է. Առաջին հերթին մեզ անհրաժեշտ են երկու հարմար երկրաչափական ձևեր, դրանք անվանենք հիմք և բեկոր։ Առաջին փուլում պատկերված է ապագա ֆրակտալի հիմքը։ Այնուհետև դրա որոշ մասեր փոխարինվում են համապատասխան մասշտաբով վերցված հատվածով. սա շինարարության առաջին կրկնությունն է: Այնուհետև ստացված պատկերը նորից որոշ մասերի վերածում է ֆրագմենտի նման ֆիգուրների և այլն։Եթե այս գործընթացը շարունակենք անվերջ, ապա սահմանում մենք ստանում ենք ֆրակտալ։

Դիտարկենք այս գործընթացը՝ օգտագործելով Կոխի կորը որպես օրինակ: Որպես Կոխի կորի հիմք, դուք կարող եք վերցնել ցանկացած կոր («Կոչ ձյան փաթիլի» համար դա եռանկյուն է): Բայց մենք կսահմանափակվենք ամենապարզ դեպքով՝ հատվածով։ Հատվածը կոտրված գիծ է, որը ներկայացված է նկարի վերևում: Ալգորիթմի առաջին կրկնությունից հետո, այս դեպքում, սկզբնական հատվածը կհամընկնի հատվածի հետ, այնուհետև դրա բաղկացուցիչ հատվածներից յուրաքանչյուրը կփոխարինվի կոտրված գծով, որը նման է հատվածին և այլն: Նկարում ներկայացված են առաջին չորս քայլերը: այս գործընթացը:

Ֆրակտալներ
Ֆրակտալներ

Մաթեմատիկայի լեզվով՝ դինամիկ (հանրահաշվական) ֆրակտալներ

Այս տեսակի ֆրակտալները առաջանում են ոչ գծային դինամիկ համակարգերի ուսումնասիրության ժամանակ (այստեղից էլ՝ անվանումը)։ Նման համակարգի վարքագիծը կարելի է նկարագրել բարդ ոչ գծային ֆունկցիայով (բազմանդամ) f (z): Վերցրեք որոշ ելակետ z0 բարդ հարթության վրա (տես կողագոտին): Այժմ դիտարկենք բարդ հարթության վրա թվերի այնպիսի անսահման հաջորդականություն, որոնցից յուրաքանչյուրը ստացված է նախորդից՝ z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn):):

Կախված z0 սկզբնական կետից, նման հաջորդականությունը կարող է այլ կերպ վարվել. հակված է անսահմանության՝ որպես n -> ∞; միանալ ինչ-որ վերջնական կետի; ցիկլային կերպով վերցնել մի շարք ֆիքսված արժեքներ. հնարավոր են նաև ավելի բարդ տարբերակներ։

Կոմպլեքս թվեր

Կոմպլեքս թիվը երկու մասից բաղկացած թիվ է՝ իրական և երևակայական, այսինքն՝ x + iy ձևական գումարը (այստեղ x և y իրական թվեր են): ես այսպես կոչված. երևակայական միավոր, այսինքն՝ թվ, որը բավարարում է i ^ 2 = -1 հավասարումը։ Հիմնական մաթեմատիկական գործողությունները սահմանվում են բարդ թվերի վրա՝ գումարում, բազմապատկում, բաժանում, հանում (միայն համեմատական գործողությունը սահմանված չէ): Բարդ թվեր ցուցադրելու համար հաճախ օգտագործվում է երկրաչափական պատկեր՝ հարթության վրա (այն կոչվում է բարդ), իրական մասը դրված է աբսցիսայի վրա, իսկ երևակայական մասը՝ օրդինատի վրա, մինչդեռ կոմպլեքս թիվը կհամապատասխանի դեկարտյան կետի։ կոորդինատները x և y.

Այսպիսով, բարդ հարթության ցանկացած z կետ f (z) ֆունկցիայի կրկնությունների ժամանակ ունի վարքի իր առանձնահատկությունը, և ամբողջ հարթությունը բաժանված է մասերի։ Այս դեպքում այս մասերի սահմանների վրա ընկած կետերն ունեն հետևյալ հատկությունը՝ կամայականորեն փոքր տեղաշարժի դեպքում կտրուկ փոխվում է նրանց վարքագծի բնույթը (այդպիսի կետերը կոչվում են բիֆուրկացիոն կետեր)։ Այսպիսով, պարզվում է, որ մեկ կոնկրետ տեսակի վարքագիծ ունեցող կետերի, ինչպես նաև բիֆուրկացիոն կետերի խմբերը հաճախ ունենում են ֆրակտալ հատկություններ: Սրանք Ջուլիայի բազմություններն են f (z) ֆունկցիայի համար:

Վիշապների ընտանիք

վիդջեթ-տոկոս
վիդջեթ-տոկոս

Տարբերակելով հիմքը և հատվածը, դուք կարող եք ստանալ կառուցողական ֆրակտալների զարմանալի բազմազանություն:

Ավելին, նմանատիպ գործողություններ կարող են իրականացվել եռաչափ տարածության մեջ։ Ծավալային ֆրակտալների օրինակներ են Մենգերի սպունգը, Սիերպինսկու բուրգը և այլն։

Վիշապների ընտանիքը կոչվում է նաև կառուցողական ֆրակտալներ։ Երբեմն նրանց հայտնաբերողների անունով անվանում են «Մայրուղու-Հարթերի վիշապներ» (իրենց տեսքով նրանք հիշեցնում են չինական վիշապներ)։ Այս կորը գծելու մի քանի եղանակ կա: Դրանցից ամենապարզն ու ինտուիտիվը սա է. անհրաժեշտ է վերցնել բավականաչափ երկար թղթի շերտ (որքան թուղթը բարակ լինի, այնքան լավ) և այն կիսով չափ ծալեք: Այնուհետև երկու անգամ թեքեք այն նույն ուղղությամբ, ինչ առաջին անգամ:

Մի քանի անգամ կրկնելուց հետո (սովորաբար հինգ կամ վեց ծալքից հետո շերտը դառնում է չափազանց հաստ, որպեսզի այն ավելի կոկիկ թեքվի), դուք պետք է ետ թեքեք ժապավենը և փորձեք 90˚ անկյուններ կազմել ծալքերում: Այնուհետև վիշապի կորը կստացվի պրոֆիլում: Իհարկե, սա կլինի միայն մոտավորություն, ինչպես ֆրակտալ առարկաները պատկերելու մեր բոլոր փորձերը: Համակարգիչը թույլ է տալիս այս գործընթացում պատկերել ևս շատ քայլեր, և արդյունքում ստացվում է շատ գեղեցիկ կազմվածք։

Mandelbrot հավաքածուն կառուցված է մի փոքր այլ կերպ: Դիտարկենք fc (z) = z ^ 2 + c ֆունկցիան, որտեղ c-ը կոմպլեքս թիվ է։ Եկեք կառուցենք այս ֆունկցիայի հաջորդականությունը z0 = 0-ով, կախված c պարամետրից, այն կարող է շեղվել մինչև անսահմանություն կամ մնալ սահմանափակ: Ավելին, c-ի բոլոր արժեքները, որոնց համար այս հաջորդականությունը սահմանափակված է, կազմում են Mandelbrot բազմությունը: Այն մանրամասն ուսումնասիրել է ինքը՝ Մանդելբրոտը և այլ մաթեմատիկոսներ, ովքեր հայտնաբերել են այս հավաքածուի շատ հետաքրքիր հատկություններ։

Երևում է, որ Ջուլիայի և Մանդելբրոտի հավաքածուների սահմանումները նման են միմյանց։ Փաստորեն, այս երկու հավաքածուները սերտորեն կապված են: Մասնավորապես, Mandelbrot հավաքածուն c բարդ պարամետրի բոլոր արժեքներն են, որոնց համար միացված է Julia հավաքածուն fc (z) (մի շարք կոչվում է միացված, եթե այն չի կարող բաժանվել երկու անհամատեղ մասերի, որոշ լրացուցիչ պայմաններով):

Ֆրակտալներ
Ֆրակտալներ

Ֆրակտալները և կյանքը

Այսօր ֆրակտալների տեսությունը լայնորեն կիրառվում է մարդկային գործունեության տարբեր ոլորտներում։ Բացի հետազոտության համար զուտ գիտական օբյեկտից և արդեն նշված ֆրակտալ նկարչությունից, ֆրակտալները օգտագործվում են տեղեկատվության տեսության մեջ՝ գրաֆիկական տվյալները սեղմելու համար (այստեղ հիմնականում օգտագործվում է ֆրակտալների ինքնանմանության հատկությունը, ի վերջո, հիշելու համար մի փոքր հատված. գծանկար և փոխակերպումներ, որոնցով դուք կարող եք ստանալ մնացած մասերը, շատ ավելի քիչ հիշողություն է պահանջվում, քան ամբողջ ֆայլը պահելու համար):

Ֆրակտալը սահմանող բանաձևերին պատահական շեղումներ ավելացնելով, կարելի է ձեռք բերել ստոխաստիկ ֆրակտալներ, որոնք շատ խելամիտ կերպով փոխանցում են որոշ իրական առարկաներ՝ ռելիեֆային տարրեր, ջրային մարմինների մակերես, որոշ բույսեր, որոնք հաջողությամբ օգտագործվում են ֆիզիկայում, աշխարհագրությունում և համակարգչային գրաֆիկայում՝ ավելին հասնելու համար։ մոդելավորված առարկաների նմանությունը իրականի հետ: Էլեկտրոնիկայի մեջ արտադրվում են ալեհավաքներ, որոնք ունեն ֆրակտալ ձև: Գրավելով քիչ տարածք՝ դրանք ապահովում են բավականին բարձրորակ ազդանշանի ընդունում։

Տնտեսագետներն օգտագործում են ֆրակտալներ արժույթի փոխարժեքի կորերը նկարագրելու համար (հատկություն, որը հայտնաբերել է Մանդելբրոտը): Սա ավարտում է այս փոքրիկ էքսկուրսիան դեպի զարմանալի գեղեցիկ և բազմազան ֆրակտալների աշխարհ:

Խորհուրդ ենք տալիս: