Հենրի Սեգերման. Նյութական ներդաշնակությունը մաթեմատիկայի մեջ

2024 Հեղինակ: Seth Attwood | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2023-12-16 16:07

Ըստ լեգենդի՝ Պյութագորասն առաջինն էր, ով հայտնաբերեց, որ երկու հավասարապես ձգված լարերը հաճելի ձայն են արձակում, եթե դրանց երկարությունները կապված են փոքր ամբողջ թվերի հետ։ Այդ ժամանակից ի վեր մարդկանց հիացրել է գեղեցկության և մաթեմատիկայի առեղծվածային կապը, ձևերի, թրթռումների, համաչափության լիովին նյութական ներդաշնակությունը և թվերի և հարաբերությունների կատարյալ վերացականությունը:

Այս կապը անցողիկ է, բայց շոշափելի, իզուր չէ, որ արվեստագետները երկար տարիներ կիրառում են երկրաչափության օրենքները և ոգեշնչվում մաթեմատիկական օրենքներով։ Հենրի Սեգերմանը դժվարացավ հրաժարվել գաղափարների այս աղբյուրից. չէ՞ որ նա մասնագիտությամբ և մասնագիտությամբ մաթեմատիկոս է։

Klein շիշ «Մոբիուսի երկու շերտերի եզրերը մտովի սոսնձելով,- ասում է Հենրի Սեգերմանը,- կարող ես ձեռք բերել Klein շիշ, որն ունի նաև մեկ մակերես: Այստեղ մենք տեսնում ենք Klein շիշը, որը պատրաստված է Mobius-ի շերտերից՝ կլոր եզրով:

Ավելի շուտ, ինչպես այն կարող է թվալ եռաչափ տարածության մեջ: Քանի որ Mobius-ի բնօրինակ «կլոր» շերտերը գնում են դեպի անսահմանություն, ապա նման Klein շիշը երկու անգամ կշարունակի անսահմանություն և խաչակնքվել, ինչը երևում է քանդակում»: Այս քանդակի ընդլայնված պատճենը զարդարում է Մելբուռնի համալսարանի մաթեմատիկայի և վիճակագրության բաժինը:

Ֆրակտալներ

«Ես ծնվել եմ գիտնականների ընտանիքում, և կարծում եմ, որ իմ հետաքրքրությունը այն ամենի նկատմամբ, ինչը պահանջում է զարգացած տարածական մտածողություն, կապված է դրա հետ», - ասում է Հենրին: Այսօր նա արդեն ավարտել է Սթենֆորդի համալսարանների Օքսֆորդի ասպիրանտուրան և դոկտորանտուրան և զբաղեցնում է Օկլահոմայի համալսարանի դոցենտի պաշտոնը։

Սակայն հաջողակ գիտական կարիերան նրա բազմակողմանի անհատականության միայն մի կողմն է. ավելի քան 12 տարի առաջ մաթեմատիկոսը սկսեց կազմակերպել արվեստի միջոցառումներ… Second Life-ի վիրտուալ աշխարհում:

Սոցիալական ցանցի տարրերով այս եռաչափ սիմուլյատորն այն ժամանակ շատ տարածված էր՝ թույլ տալով օգտատերերին ոչ միայն շփվել միմյանց հետ, այլև սարքավորել իրենց վիրտուալ «ավատարները» և ժամանցի, աշխատանքի և այլնի համար նախատեսված տարածքները:

Անունը՝ Հենրի Սեգերման

Ծնվել է 1979թ

Կրթություն: Սթենֆորդի համալսարան

Քաղաք՝ Սթիլուոթեր, ԱՄՆ

Կարգախոս՝ «Ընդունիր միայն մեկ գաղափար, բայց ցույց տուր այն հնարավորինս պարզ»:

Սեգերմանը եկավ այստեղ՝ զինված բանաձևերով և թվերով, և մաթեմատիկորեն դասավորեց իր վիրտուալ աշխարհը՝ լցնելով այն աննախադեպ ֆրակտալ պատկերներով, պարույրներով և նույնիսկ թեսերակտներով, քառաչափ հիպերխորանարդներով։ «Արդյունքը քառաչափ հիպերխորանարդի պրոյեկցիա է Second Life-ի եռաչափ տիեզերքում, որն ինքնին եռաչափ վիրտուալ աշխարհի պրոյեկցիա է երկչափ, հարթ էկրանի վրա»,- նշում է նկարիչը:

Հիլբերտի կորը. շարունակական գիծը լրացնում է խորանարդի տարածությունը՝ երբեք չընդհատելով կամ չհատվելով իր հետ:

Հիլբերտի կորերը ֆրակտալ կառուցվածքներ են, և եթե մեծացնեք, կարող եք տեսնել, որ այս կորի մասերը հետևում են ամբողջի ձևին: «Ես դրանք հազարավոր անգամ տեսել եմ նկարազարդումների և համակարգչային մոդելների մեջ, բայց երբ առաջին անգամ ձեռքս վերցրեցի նման 3D քանդակը, անմիջապես նկատեցի, որ այն նաև զսպանակավոր է», - ասում է Սեգերմանը: «Մաթեմատիկական հասկացությունների ֆիզիկական մարմնավորումը միշտ ինչ-որ բանով զարմացնում է»։

Սակայն նյութական քանդակների հետ աշխատելը նրան շատ ավելի դուր էր գալիս։ «Մեր շուրջը մշտապես շրջանառվում է հսկայական քանակությամբ տեղեկատվություն», - ասում է Սեգերմանը: - Բարեբախտաբար, իրական աշխարհն ունի շատ մեծ թողունակություն, որը դեռ հասանելի չէ համացանցում:

Տվեք մարդուն պատրաստի բան, անբաժանելի ձև, և նա անմիջապես կընկալի այն իր ամբողջ բարդությամբ, առանց բեռնման սպասելու »:Այսպիսով, 2009 թվականից ի վեր Սեգերմանը ստեղծել է հարյուրից մի փոքր ավելի քանդակներ, և դրանցից յուրաքանչյուրը վերացական մաթեմատիկական հասկացությունների և օրենքների տեսողական և որքան հնարավոր է ճշգրիտ ֆիզիկական մարմնացում է:

Պոլիեդրա

Սեգերմանի 3D տպագրության գեղարվեստական փորձերի էվոլյուցիան տարօրինակ կերպով կրկնում է մաթեմատիկական գաղափարների էվոլյուցիան: Նրա առաջին փորձերից էին դասական պլատոնական պինդ մարմինները՝ հինգ սիմետրիկ պատկերների հավաքածու՝ ծալված կանոնավոր եռանկյունների, հնգանկյունների և քառակուսիների մեջ։ Նրանց հաջորդել են կիսականոն բազմանիստերը՝ 13 Արքիմեդյան պինդ մարմիններ, որոնց դեմքերը կազմված են անհավասար կանոնավոր բազմանկյուններով։

Stanford Rabbit 3D մոդելը ստեղծվել է 1994 թվականին։ Կազմված է մոտ 70,000 եռանկյուններից, այն ծառայում է որպես ծրագրային ապահովման ալգորիթմների կատարման պարզ և հանրաճանաչ թեստ: Օրինակ, նապաստակի վրա դուք կարող եք ստուգել տվյալների սեղմման կամ մակերեսի հարթեցման արդյունավետությունը համակարգչային գրաֆիկայի համար:

Հետևաբար, մասնագետների համար այս ձևը նույնն է, ինչ «Եվս մի քիչ կերեք այս փափուկ ֆրանսիական ռուլետներից» արտահայտությունը նրանց համար, ովքեր սիրում են խաղալ համակարգչային տառատեսակներով։ Նույն մոդելն է Stanford Bunny քանդակը, որի մակերեսը սալարկված է նապաստակ բառի տառերով։

Արդեն այս պարզ ձևերը, գաղթելով երկչափ նկարազարդումներից և երևակայության իդեալական աշխարհից դեպի եռաչափ իրականություն, ներքին հիացմունք են առաջացնում իրենց լակոնիկ և կատարյալ գեղեցկությամբ: «Մաթեմատիկական գեղեցկության և արվեստի տեսողական կամ ձայնային ստեղծագործությունների գեղեցկության հարաբերությունն ինձ շատ փխրուն է թվում:

Ի վերջո, շատերը խորապես գիտակցում են այս գեղեցկության մի ձևը՝ ամբողջովին չհասկանալով մյուսը: Մաթեմատիկական գաղափարները կարող են թարգմանվել տեսանելի կամ վոկալ ձևերի, բայց ոչ բոլորը, և ոչ այնքան հեշտ, որքան կարող է թվալ», - ավելացնում է Սեգերմանը:

Շուտով դասական կերպարներին հետևեցին ավելի ու ավելի բարդ ձևեր, ընդհուպ մինչև նրանք, որոնց մասին Արքիմեդը կամ Պյութագորասը դժվար թե մտածեին. կանոնավոր պոլիեդրաներ, որոնք լցնում են Լոբաչևսկու հիպերբոլիկ տարածությունը առանց ընդմիջման:

Անհավանական անուններով այնպիսի ֆիգուրներ, ինչպիսիք են «6-րդ կարգի քառանիստ մեղրախորիսխ» կամ «վեցանկյուն խճանկարային բջիջ», հնարավոր չէ պատկերացնել առանց ձեռքի տակ գտնվող տեսողական պատկերի: Կամ՝ Սեգերմանի քանդակներից մեկը, որը ներկայացնում է դրանք մեր սովորական եռաչափ Էվկլիդեսյան տարածության մեջ։

Պլատոնական պինդ մարմիններ՝ քառանիստ, ութանիստ և իկոսաեդրոն՝ ծալված կանոնավոր եռանկյուններով, ինչպես նաև խորանարդ և իկոսաեդրոն՝ բաղկացած քառանկյուններից, որոնք հիմնված են հնգանկյունների վրա։

Ինքը՝ Պլատոնը, դրանք կապում էր չորս տարրերի հետ՝ «հարթ» ութանիստ մասնիկներ, իր կարծիքով՝ ծալված օդ, «հեղուկ» իկոսաեդրոններ՝ ջուր, «խիտ» խորանարդներ՝ հող, և սուր և «փշոտ» եռամսյակներ՝ կրակ։ Հինգերորդ տարրը՝ դոդեկաեդրոնը, փիլիսոփայի կողմից համարվում էր գաղափարների աշխարհի մասնիկ։

Նկարչի աշխատանքը սկսվում է 3D մոդելից, որը նա կառուցում է պրոֆեսիոնալ Rhinoceros փաթեթում։ Մեծ հաշվով դա այսպես է ավարտվում՝ քանդակների արտադրությունն ինքնին, մոդելի տպագրությունը 3D տպիչի վրա, Հենրին պարզապես պատվիրում է Shapeways-ի՝ 3D տպագրության սիրահարների մեծ առցանց համայնքի միջոցով և ստանում պատրաստի առարկա՝ պատրաստված պլաստիկից կամ պողպատի բրոնզից պատրաստված մետաղական մատրիցային կոմպոզիտներից: «Դա շատ հեշտ է», - ասում է նա: «Դուք պարզապես մոդել եք վերբեռնում կայքում, սեղմում եք «Ավելացնել զամբյուղ» կոճակը, պատվիրում եք, և մի քանի շաբաթից այն ձեզ կառաքվի փոստով»:

Նկար Ութերորդ Կոմպլեմենտ Պատկերացրեք, թե ինչպես եք մի հանգույց կապում պինդ մարմնի ներսում և այնուհետև հանում այն; մնացած խոռոչը կոչվում է հանգույցի լրացում: Այս մոդելը ցույց է տալիս ամենապարզ հանգույցներից մեկի՝ ութ նկարի ավելացումը:

գեղեցկություն

Ի վերջո, Սեգերմանի մաթեմատիկական քանդակների էվոլյուցիան մեզ տանում է դեպի տոպոլոգիայի բարդ և հիպնեցող դաշտ: Մաթեմատիկայի այս ճյուղն ուսումնասիրում է հարթ մակերևույթների և տարբեր չափերի տարածությունների հատկությունները և դեֆորմացիաները, և դրանց ավելի լայն բնութագրերը նրա համար կարևոր են, քան դասական երկրաչափության համար։

Այստեղ խորանարդը հեշտությամբ կարելի է գնդակի վերածել, ինչպես պլաստիլինը, իսկ բռնակով գավաթը կարելի է գլորել բլիթ՝ առանց դրանցում որևէ կարևոր բան կոտրելու՝ հայտնի օրինակ, որը մարմնավորված է Սեգերմանի էլեգանտ Տոպոլոգիական Կատակում:

Թեսերակտը քառաչափ խորանարդ է. ինչպես քառակուսին կարելի է ձեռք բերել՝ նրան ուղղահայաց հատվածը տեղափոխելով իր երկարությանը հավասար հեռավորության վրա, այնպես էլ կարելի է ստանալ խորանարդ՝ եռաչափ քառակուսին պատճենելով և խորանարդը տեղափոխելով։ չորրորդում «կգծենք» թեսերակտ կամ հիպերխորանարդ։ Այն կունենա 16 գագաթ և 24 դեմք, որոնց ելքերը մեր եռաչափ տարածության մեջ քիչ են նմանվում սովորական եռաչափ խորանարդի:

«Մաթեմատիկայում գեղագիտական իմաստը շատ կարևոր է, մաթեմատիկոսները սիրում են «գեղեցիկ» թեորեմներ»,- պնդում է նկարիչը։ - Դժվար է որոշել, թե կոնկրետ ինչից է բաղկացած այս գեղեցկությունը, ինչպես, իսկապես, այլ դեպքերում։ Բայց ես կասեի, որ թեորեմի գեղեցկությունը նրա պարզության մեջ է, որը թույլ է տալիս ինչ-որ բան հասկանալ, տեսնել մի քանի պարզ կապեր, որոնք նախկինում անհավանական բարդ էին թվում:

Մաթեմատիկական գեղեցկության հիմքում կարող է լինել մաքուր, արդյունավետ մինիմալիզմը և «Ահա» զարմացած բացականչությունը: Մաթեմատիկայի խորը գեղեցկությունը կարող է նույնքան սարսափելի լինել, որքան Ձյունե թագուհու պալատի սառցե հավերժությունը: Այնուամենայնիվ, այս ամբողջ սառը ներդաշնակությունն անփոփոխ կերպով արտացոլում է Տիեզերքի ներքին կարգուկանոնն ու կանոնավորությունը, որտեղ մենք ապրում ենք: Մաթեմատիկան պարզապես լեզու է, որն անվրեպ համապատասխանում է այս նրբագեղ ու բարդ աշխարհին:

Պարադոքսալ է, բայց այն պարունակում է ֆիզիկական համապատասխանություններ և կիրառություններ մաթեմատիկական բանաձևերի և հարաբերությունների լեզվով գրեթե ցանկացած հայտարարության համար: Նույնիսկ ամենաաբստրակտ ու «արհեստական» կոնստրուկցիաները վաղ թե ուշ կիրառություն կգտնեն իրական աշխարհում։

Տոպոլոգիական կատակ. որոշակի տեսանկյունից շրջանագծի և բլիթների մակերևույթները «նույնն են», իսկ ավելի ճիշտ՝ հոմեոմորֆ են, քանի որ կարող են փոխակերպվել միմյանց՝ առանց ընդմիջումների և սոսինձների՝ շնորհիվ. աստիճանական դեֆորմացիա.

Էվկլիդեսյան երկրաչափությունը դարձավ դասական անշարժ աշխարհի արտացոլումը, դիֆերենցիալ հաշվարկը հարմար եղավ Նյուտոնյան ֆիզիկայի համար: Ռիմանյան անհավանական չափանիշը, ինչպես պարզվեց, անհրաժեշտ է Էյնշտեյնի անկայուն տիեզերքը նկարագրելու համար, և բազմաչափ հիպերբոլիկ տարածությունները կիրառություն են գտել լարերի տեսության մեջ:

Մեր իրականության հիմքերին վերացական հաշվարկների և թվերի այս տարօրինակ համապատասխանության մեջ, թերևս, թաքնված է գեղեցկության գաղտնիքը, որը մենք անպայման զգում ենք մաթեմատիկոսների բոլոր սառը հաշվարկների հետևում։